Teorema de Pitágoras

Versão 1.0

Em matemática , o teorema de Pitágoras é uma relação na geometria euclidiana entre os três lados de um triângulo retângulo. Em termos de áreas, ele afirma:
Em qualquer triângulo retângulo, a área do quadrado cujo lado é a hipotenusa (o lado oposto ao ângulo recto) é igual à soma das áreas dos quadrados cujos lados são as duas pernas (os dois lados que se encontram numa ângulo direito ).
O teorema pode ser escrita como uma equação relacionando os comprimentos dos lados a , b e c , chamado frequentemente a equação de Pitágoras:

onde c representa o comprimento da hipotenusa, e um e b representam os comprimentos dos outros dois lados.

O teorema de Pitágoras é nomeado após o grego matemático Pitágoras , que por tradição é creditado com a sua descoberta e prova, embora seja frequentemente argumentado que o conhecimento do teorema é anterior a ele. Há evidências de que os matemáticos Babilônia desenvolveu a fórmula, embora haja pouca evidência sobrevivente que utilizou em uma estrutura matemática.
O teorema tem inúmeras provas , possivelmente mais do que qualquer teorema matemático. Estes são muito diversificados, incluindo tanto as provas geométricas e algébricas provas, com alguns milhares de anos atrás. O teorema pode ser generalizado de várias maneiras, incluindo dimensões superiores espaços, em espaços que não são euclidiana, a objetos que não são triângulos retângulos, e de fato, a objetos que não são triângulos em tudo, mas n -dimensionais sólidos. O teorema de Pitágoras atraiu o interesse fora da matemática como um símbolo de hermetismo matemática, mística, ou o poder intelectual; referências populares da literatura, peças teatrais, musicais, músicas, selos e desenhos animados abundam.

triplos de Pitágoras

A tripla pitagórica tem três números inteiros positivos de um , b , e c , de tal forma que um ² + b ² = c ² . Em outras palavras, uma tripla pitagórica representa os comprimentos dos lados de um triângulo retângulo, onde os três lados têm comprimentos inteiros. A evidência de monumentos megalíticos da Europa do Norte mostra que triplica tais eram conhecidos antes da descoberta da escrita. Tal é geralmente escrita triplo ( um , b , c ). Alguns exemplos bem conhecidos são (3, 4, 5) e (5, 12, 13).

A primitiva de Pitágoras triplo é aquele em que um , b e c são primos entre si (o maior divisor comum de um , b e c é 1).

O seguinte é uma lista de primitivas trios pitagóricos com valores inferiores a 100:

(3, 4, 5), (5, 12, 13), (7, 24, 25), (8, 15, 17), (9, 40, 41), (11, 60, 61), (12 , 35, 37), (13, 84, 85), (16, 63, 65), (20, 21, 29), (28, 45, 53), (33, 56, 65), (36, 77 , 85), (39, 80, 89), (48, 55, 73), (65, 72, 97)

comprimentos incomensuráveis

A espiral de Theodorus : Uma construção de segmentos de linha com comprimentos cujas proporções são a raiz quadrada de um número inteiro positivo

Uma das consequências do teorema de Pitágoras é que os segmentos de linha cujos comprimentos são incomensuráveis ​​(por isso o rácio de que não é um número racional ) pode ser construído usando uma régua e um compasso . Teorema de Pitágoras permite a construção de comprimentos incomensuráveis ​​porque a hipotenusa de um triângulo está relacionado com os lados pela raiz quadrada de operação.

A figura da direita mostra como a construção de segmentos de linha, cujos comprimentos estão na relação de raiz quadrada de qualquer número inteiro positivo. Cada uma tem um lado do triângulo (identificado como "1"), que é a unidade escolhido para a medição. Em cada um triângulo retângulo, o teorema de Pitágoras estabelece o comprimento da hipotenusa em termos de unidade. Se uma hipotenusa está relacionada com a unidade da raiz quadrada de um número inteiro positivo, que não seja um quadrado perfeito, é a realização de um comprimento incomensurável com o aparelho, tais como √ 2 , √ 3 , √ 5  . Para mais detalhes, consulte Quadrática irracional .

Comprimentos incomensuráveis ​​em conflito com o conceito da escola pitagórica de números como apenas números inteiros. A escola pitagórica tratado com proporções por comparação de múltiplos inteiros de uma subunidade comum. De acordo com uma lenda, Hippasus de Metaponto ( ca. 470 aC) foi afogado no mar para dar a conhecer a existência do irracional ou incomensuráveis. 

Os números complexos

O valor absoluto de um número complexoz é a distância r de z com a origem

Para qualquer número complexo

o valor absoluto ou módulo é dada pela

Assim, as três quantidades, r , x e y estão relacionados pela equação de Pitágoras,

Note-se que r é definido como um número positivo ou zero, mas x e y pode ser negativo, bem como positivo. Geometricamente r é a distância entre a z a partir de zero ou de origem O do plano complexo .

Isso pode ser generalizado para saber a distância entre dois pontos, z ₁ e z ₂ dizer. A distância requerida é dado pela

portanto, novamente eles estão relacionados por uma versão da equação de Pitágoras,

distância euclidiana em vários sistemas de coordenadas

A fórmula de distância em coordenadas cartesianas é derivado do teorema de Pitágoras. Se ( x ₁ , y ₁ ) ​​e ( x ₂ , y ₂ ) são os pontos no plano, em seguida, a distância entre eles, também chamada a distância Euclidiana , é dado pela

De modo mais geral, em euclidiana n -espaço , a distância euclidiana entre dois pontos, e , é definida, pela generalização do teorema de Pitágoras, como:

Se as coordenadas cartesianas são não usada, por exemplo, se as coordenadas polares são utilizados em duas dimensões, ou, em termos mais gerais, se coordenadas curvilíneas são usados, as fórmulas expressando a distância Euclidiana é mais complicado do que o teorema de Pitágoras, mas pode ser derivado a partir de lo. Um exemplo típico em que a distância em linha recta entre dois pontos é convertida em coordenadas curvilíneas pode ser encontrada nos pedidos de polinómios de Legendre na física . As fórmulas podem ser descoberto usando o teorema de Pitágoras com as equações relativas coordenadas curvilíneas em coordenadas cartesianas. Por exemplo, as coordenadas polares ( r , θ ) pode ser introduzida como:

Em seguida, dois pontos com localizações ( r ₁ , θ ₁ ) e ( r ₂ , θ ₂ ) estão separados por uma distância s :

Realizando as praças e os termos que combinam, a fórmula de Pitágoras para a distância em coordenadas cartesianas produz a separação em coordenadas polares como:

usando as funções trigonométricas produto para soma-fórmulas . Esta fórmula é a lei dos co-senos , algumas vezes chamado o Teorema de Pitágoras Generalizada. A partir deste resultado, para o caso em que os raios para os dois locais são perpendiculares, o ângulo fechado ô q = π / 2, e de forma a correspondente ao teorema de Pitágoras é recuperado: O teorema de Pitágoras, válido para triângulos retângulos, portanto, é um caso especial da lei mais geral dos cossenos, válido para triângulos arbitrários.

Pitágoras trigonométrica identidade

Triângulos retângulos semelhantes mostrando seno e cosseno do ângulo θ

Em um triângulo retângulo com os lados um , b e hipotenusa c , trigonometria determina o seno e co-seno do ângulo θ entre o lado de um ea hipotenusa como:

Do que se segue:

onde o último passo aplica-se o teorema de Pitágoras. Esta relação entre o seno e co-seno, por vezes, é denominado a fundamental de Pitágoras identidade trigonométrica. Em triângulos semelhantes, as razões entre as partes são as mesmas, independentemente do tamanho dos triângulos, e dependem dos ângulos. Consequentemente, na figura, o triângulo com hipotenusa do tamanho da unidade tem lado oposto do tamanho sin  θ lado e adjacentes de tamanho cos  θem unidades da hipotenusa.

Relação com o produto vetorial

A área de um paralelogramo como um produto de cruz; vectores um e b identificar um avião e um b × é normal a este plano.

O teorema de Pitágoras relaciona o produto cruzado e produto escalar de uma forma similar: 

Isto pode ser visto a partir das definições de produto cruzado e produto escalar, como

com n um vector unitário normal a ambos um e b . A relação segue a partir dessas definições e da identidade de Pitágoras trigonométrica.

Isto também pode ser utilizado para definir o produto cruzado. Rearranjando a seguinte equação é obtida

Isto pode ser considerado como uma condição para o produto de modo transversal e parte da sua definição, por exemplo, em sete dimensões . 

Motor Iônico de Cs e Hg

Versão 1.0

Césio e mercúrio foram usados como propulsor no início de motores iônicos concebidos para propulsão de naves espaciais interplanetárias ou missões extraplanetários. O método de ionização é retirar o elétron exterior do propulsor através de um elétrodo de tungstênio que tem uma tensão aplicada. Preocupação é a  corrosão do césio em componentes espaciais isso fez com que fosse usado propulsores de gases inertes tais como o xénon e é mais fácil de manusear em testes baseados na terra e tem menos potencial para interferir com a sonda. Eventualmente , xenon foi usado na nave espacial experimental Deep Space 1 , lançado em 1998. No entanto, no campo de motores de propulsão elétrica os propulsores que utilizam um sistema simples de aceleração de íons como os de metal líquido com césio para criar impulso tem sido construído.

Transmissão de energia por microondas

Versão 1.0

A transmissão de energia por microondas é a outra possibilidade a ser estudada. As microondas são sinais de frequência muito elevada (1.000 milhões Hz) que percorrem a superfície de condutor, não o seu interior. São atualmente usadas em sistema de comunicação, tais como as transmissões via satélite, onde as necessidades de energia são pequena. Teoricamente, em um tubo de 1,20 metros de diâmetro poderia, por meio de microondas, transportar toda a energia equivalente aquela transmitida por duas linhas aéreas de 400kV, mas até agora não foram encontrados os meios práticos de converter a alta energia das microondas em baixas frequências utilizáveis (60Hz) ou vice-versa